Eden Strona Główna




Poprzedni temat «» Następny temat
Kości zostały rzucone - Rozkłady prawdopodobieństwa
Autor Wiadomość
Luxter



gram na
https://test-nodebb.herokuapp.com/

o sobie
Bug programowania


Wysłany: 2017-12-28, 11:51   Kości zostały rzucone - Rozkłady prawdopodobieństwa

Kolejna część mająca służyć jako wprowadzenie, wstęp teoretyczny do rozpatrywania systemów opartych na kościach. Podobnie jak w poprzednim artykule bardziej zawiłe obliczenia/dodatkowe informacje/szczególiki zostały ukryte w sekcjach spoil, więc jeśli chcecie, to możecie je zupełnie bezpiecznie ominąć, nie tracąc jednocześnie ogólnego punktu widzenia. W poprzedniej części zapoznaliśmy się z podstawowymi pojęciami i wartościami, dzięki którym można opisywać zdarzenia losowe. Tym razem zobaczymy, czym są i jakie informacje dla nas, jako twórców mechanik, niosą rozkłady prawdopodobieństwa.

Jeśli mówimy o rozkładzie wyników, na przykład możliwych rezultatów rzutu kością, często używa się pojęć typu "rozkład normalny" czy "krzywa dzwonowa", która to wygląda mniej więcej tak:


Rozkład normalny, wyróżnia się spośród wielu innych tym, że bardzo często występuje w naturze (stąd nazwa = powszechny = normalny). Jeśli na przykład weźmiemy grupę ludzi i sprawdzimy, jakiego są wzrostu, to nasze rezultaty (z podziałem na płeć) będą wyglądać mniej więcej tak:


Jak widać, kobiety najczęściej mają wzrost w okolicach 65 cali (165cm), a mężczyźni 70 cali (177cm) i pozostałe wartości występują symetrycznie dookoła tego "szczytu". Rzadziej więc spotykamy kobiety mające 71 cali (180cm), a jeszcze rzadziej mężczyzn mierzących ponad 79 cali (200cm), czy mniej niż 59 cali (150cm). Posługując się poznaną wcześniej terminologią, można więc powiedzieć, że wartość średnia wybranej populacji kobiet wynosi 165, a mężczyzn 177cm. Ponadto widzimy, że rozkład dla kobiet jest węższy, a to oznacza, że wzrost większej liczby kobiet, skupia się wokół wartości średniej. Oznacza to, że odchylenie standardowe (czyli odchylenie od wartości średniej) wzrostu kobiet, jest mniejsze niż wzrostu mężczyzn.

Na podstawie tych dwóch wartości można sobie zbudować intuicję, stwierdzić jak mniej więcej wygląda cała grupa. Statystycznie jesteśmy w stanie przewidzieć (z dużym prawdopodobieństwem) jaki wzrost będzie miała nowa kobieta/nowy mężczyzna, spoza grupy, na podstawie podanych rozkładów. Analogiczna sytuacja występuje w naszej mechanice opartej o kości.

Załóżmy, że rzucamy raz kością d6. Możliwe wartości to: 1, 2, 3, 4, 5 i 6, a każda z nich występuje z równym prawdopodobieństwem 1/6. Wykres rozkładu prawdopodobieństwa wygląda więc tak:


Na osi poziomej mamy możliwe do uzyskania wyniki, natomiast na pionowej liczbę kombinacji, na którą można dany wynik uzyskać. Z racji, że rzucamy pojedynczą kością d6, to możemy wyrzucić każdą dostępną liczbę na dokładnie jeden sposób, co z kolei oznacza, że prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej z liczb wynosi 1/6.

Zwiększając liczbę ścian, np. do d18 nasz rozkład wygląda analogicznie:


Ponownie rzucamy pojedynczą kością, każdy możliwy rezultat możemy uzyskać tylko na 1 sposób, więc prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej liczby wynosi 1/18.

Zauważmy, że w przypadku pojedynczej kości prawdopodobieństwo każdego rezultatu jest takie samo (co jest oczywiście logiczne: gdy rzucamy kością, to chcemy, żeby każda ścianka wypadała tak samo często, jak pozostałe, aby kość była "uczciwa"). Taki płaski rozkład jest jednak mało ciekawy. Pomimo tego, że w naszej mechanice szansa na pozytywne rozwiązanie akcji nie musi być "w połowie" możliwych rezultatów, czyli np. nasz sukces możemy zdefiniować jako "większe bądź równe pięć na kości d6". W tym przypadku zdarzenia sprzyjające to: 5, 6, czyli prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 2/6 = 1/3 (ok. 33%). Taki rozkład daje nam małą kontrolę nad naszą mechaniką, równie często wypadają nam wszystkie możliwości, zarówno "krytyczne porażki" jak i "krytyczne sukcesy".

Rozpatrzmy inny przypadek: rzucamy trzema kościami d6 i sumujemy liczbę wyrzuconych oczek. Nasz rozkład prezentuje się teraz tak:


Jak łatwo zauważyć, na każdej kości może wypaść od 1 do 6 oczek. Jako że rzucamy trzema takimi samymi kośćmi, to suma z trzech kości może wynosić od 3 (1 + 1 + 1) do 18 (6 + 6 + 6). Teraz jednak niektóre rezultaty są bardziej prawdopodobne od innych. Te skrajne (3 i 18) mogą wypaść tylko na jeden możliwy sposób. Podczas gdy na przykład sumę 5 można uzyskać na 6 różnych sposobów: 1 + 1 + 3, 1 + 3 + 1, 3 + 1 + 1, 1 + 2 + 2, 2 + 1 + 2, 2 + 2 + 1. Szansa więc na wyrzucenie sumy równej 3 wynosi 1/216 (wszystkich możliwości jest 6 * 6 * 6, a sprzyja nam tylko 1), zaś sumy równej 5 to 6/216 = 1/36 (czyli aż 6 razy większe prawdopodobieństwo sukcesu!). Taki rozkład o wiele lepiej modeluje rzeczywistość i pozwala uzyskiwać bardziej realne rezultaty. W rzeczywistości bowiem wartości skrajne (ekstremalne szczęście lub pech, niezwykły talent lub brak zdolności) występują rzadziej niż wartości typowe (ze środka naszego rozkładu prawdopodobieństwa). Statystycznie najczęściej będziemy wyrzucać sumę oczek równą 10 lub 11 (oraz w okolicach tego), a bardzo rzadko sumy skrajne (od 3 do 5 czy od 16 do 18).

Ukryj: 

Przyjrzyjmy się bliżej naszym rzutom 1d18 oraz 3d6. W pierwszym przypadku nasza wartość minimalna to 1 maksymalna to 18, średnia to 9.5, a odchylenie standardowe to ok. 5.19. W drugim przypadku wartość minimalna to 3 maksymalna to 18, średnia to 10.5, a odchylenie standardowe to ok. 2.96. To oznacza, że w przypadku rzutu 3 kośćmi i ich sumowania, większa liczba losowych rzutów znajduje się bliżej wartości średniej (która też jest większa), co bardzo ładnie widać z wykresów, które w sposób intuicyjny pozwalają interpretować te same informacje.


Ukryj: 

Jako bonus dorzucam pewne wartości opisujące sam rozkład normalny:


Jak widać w obszarze +/- 1 sigma (plus/minus jedno odchylenie standardowe) mieści się aż 68.2% wszystkich możliwych rzutów. A w zakresie +/- 2 sigma (plus minus dwa odchylenia standardowe) aż 95.4%. Oznacza to, że statystycznie 95 ze 100 losowych rzutów wpada w przedział [wartość średnia - 2 * odchylenie standardowe, wartość średnia + 2 * odchylenie standardowe]. Stąd jasno wynika, że sterując wartością średnią i odchyleniem standardowym możemy łatwo i z dużą dokładnością przewidzieć jak nasza mechanika będzie się typowo zachowywać. Możemy dowolnie przesuwać jaka wartość powinna najczęściej wypadać oraz jak pozostałe wartości powinny od niej odbiegać.


Rozkład a atrybuty postaci

Mechaniki oparte o kości rzadko operują WYŁĄCZNIE na kościach. Zwykle wprowadza się do systemu również atrybuty postaci i dopiero po połączeniu ich z rezultatem rzutu kośćmi, podejmowany jest ostateczny werdykt. Spójrzmy jak zachowywałby się nasz rozkład, gdyby uwzględniał dodatkowo atrybuty postaci.

Przyjmijmy, na potrzeby przykładu, że na rozwiązanie danej akcji wpływa tylko jeden atrybut, np. siła postaci, która przyjmuje wartości z zakresu od 0 do 5. Podobnie jak wcześniej rzucamy 3 kośćmi d6 i sumujemy liczbę oczek. Zobaczmy, jak wygląda rozkład dla 3 różnych postaci z inną wartością atrybutu:

Siła = 1:


Siła = 3:


Siła = 5:


Jak widać sam rozkład, jako taki nie ulega zmianie. Jedyne co się zmienia, to przesunięcie jego wartości (a co za tym idzie również wartości średniej). Jest to jak najbardziej własność pożądana. Każda z trzech postaci ma dokładnie takie same szanse na posiadanie szczęścia (dużej sumy oczek - niskie prawdopodobieństwo), pecha (małej sumy oczek - niskie prawdopodobieństwo) czy przeciętnego farta (średniej liczby oczek - wysokie prawdopodobieństwo). Jednakże ich bazowy atrybut siły automatycznie sprawia, że wynik końcowy oscyluje wokół innej wartości.

Załóżmy, że nasze rozpatrywane zdarzenie miało sukces zdefiniowany następująco: "rezultat końcowy wynosi przynajmniej 15". Dla postaci z Siłą = 1, zdarzeń sprzyjających jest tylko 35, a więc prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 35/216 (ok. 16%), dla tej z Siłą = 3, jest to 81/216 (ok. 37%), a ostatniej 135/216 (ok. 62%). Widzimy więc, że postać z Siłą = 5, ma jako jedyna ponad 50% szans na sukces (dzięki temu, że jest wyspecjalizowana do wykonywania danej akcji), a jej prawdopodobieństwo sukcesu jest prawie czterokrotnie wyższe niż postaci z Siłą = 1. Nie oznacza to oczywiście, że to postać z Siłą = 5 zawsze odniesie sukces, może się zdarzyć tak, że postaci z Siłą = 1 uda się wykonać tę akcję, a postaci z Siłą = 5 się nie powiedzie (chociaż statystycznie jest to mało prawdopodobne). Właśnie dzięki temu mamy ten element nieprzewidywalności. Oczywiście, można by ustalić próg sukcesu w innym miejscu, np. "rezultat końcowy wynosi przynajmniej 22" i wtedy tylko postać z Siłą = 5 ma jakiekolwiek szanse powodzenia. Wszystko zależy od tego, jak trudna jest dana akcja i jak ustawimy jej rozkład.

Reasumując tę część: unikajmy "płaskich" rozkładów prawdopodobieństwa, takich jak z pojedynczego rzutu kością (gdyż nie mamy nad nimi kontroli), dążmy do rozkładów normalnych (gdyż w sposób naturalny modelują zjawiska zachodzące na co dzień - mniejsze prawdopodobieństwo przypadków ekstremalnych, największe prawdopodobieństwo przypadków typowych), sprawdzajmy wartość średnią i odchylenie standardowe naszego rozkładu, aby mieć (przynajmniej ogólne) pojęcie na temat naszej mechaniki i tego, jak rozkładają się w niej losowe rzuty, łączmy kości z atrybutami, aby silniejsze/bardziej rozwinięte/wyspecjalizowane w danej dziedzinie postaci miały większe prawdopodobieństwo sukcesu dla wybranych akcji. To już koniec tej części (prawdopodobnie ostatniej czysto teoretycznej) o rozkładach prawdopodobieństwa. W kolejnej przyjrzymy się już konkretnym przykładom mechanik opartych o rzuty kośćmi. Enjoy!
_________________
„Common sense is so rare that it should be classified as a super power.” ~ Bill Murray.
„Where ignorance is bliss, 'tis folly to be wise.” ~ Thomas Gray.
[Profil]
    [warsztat techniczny]
   Podziel się na:  
Wyświetl posty z ostatnich:   
[ ODPOWIEDZ ]
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
Nie możesz załączać plików na tym forum
Możesz ściągać załączniki na tym forum
Dodaj temat do Ulubionych
Wersja do druku

Skocz do:  




wxv.pl - załóż forum dyskusyjne za darmo





administracja
Partnerzy
Masz tumblr z avatarami, bloga z kodami lub coś innego, co określa Twoją twórczość? Wyślij na pw administracji banner o wymiarach: 40x120px